The law of diminishing marginal stalls

邊際廁格遞減定律

公共廁格的位置偏好、遞迴信念與序列搜尋：概念模型、數值推演及實證研究設計

The Marginal Stall Diminishing Hypothesis: Spatial Preference, Recursive Beliefs, and Sequential Search in Public Restrooms

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研究類型：跨學科概念論文與可重現數值示例（未進行原創人類受試資料蒐集）

日期：2026 年 10 月 12 日　｜　研究領域：行為經濟學、認知心理學、決策科學、應用機率與公共設施管理

摘要

本文提出「邊際廁格遞減定律」作為一項有待實證的行為決策假說：當使用者面對一列外觀相近的公共廁格時，首選位置可能由中央偏好、邊緣偏好、隨機選擇、行走便利與對他人選擇的推測共同決定；部分使用者又會在實地查看後持續搜尋，形成搜尋成本與預期改善之間的權衡。本文綜合位置效應、有限理性、認知層級、隨機效用模型及最優停止理論，將該構想拆分成三個可檢驗命題：首選位置是否存在非均勻分布、重複查看的期望收益是否遞減，以及「第 4 格最少人選」是否因反身性而失效。以明示假設建立五格混合行為模型，在一組示例參數下，第 4 格首選率為 10.18%，低於第 2 格的 13.60%；然而，僅需約 3.31% 的額外人群由原有分布改為直接選第 4 格，兩者排名即逆轉。研究同時指出，低使用率並不必然代表較潔淨，且「37% 法則」不能推導出普適的理想擇偶年齡。本文提出可預註冊的現地研究及可識別行為機制的檢驗策略。

關鍵詞：廁格選擇；位置效應；中央偏好；二階信念；序列搜尋；最優停止；反身性；有限理性

1　研究問題與核心命題

1.1　五格問題的嚴格描述

設某一公共廁所共有五個連續獨立廁格，由左至右編為 i = 1, 2, 3, 4, 5。研究對象進入時可能面臨不同廁格皆空、部分被佔用、表面潔淨度未知等狀態。本文先研究「五格全空、可達性相近、無明顯故障」的基準情境，再引入入口位置、清潔程度、私隱與佔用等實際限制。要明確區分「第一個想選的廁格」（first choice）、「實際查看的順序」（inspection sequence）及「最後使用的廁格」（final choice）：三者可以不同。

使用者原始直覺提供了三類重要行為：偏好中央的 3 號、偏好兩端的 1 或 5 號，以及不特別思索而近似隨機選擇。本文另加入經常被忽略的「走路成本與入口便利」機制。這一新增機制至關重要：若左右完全對稱，2 號與 4 號沒有位置上的內在差異；只有實際場景中的非對稱性或群體信念，才可能使 4 號單獨成為最冷門選項。

1.2　名稱中的「遞減」應指甚麼

在經濟學中，邊際報酬遞減通常討論某項投入增加時，新增產出的增量下降。本文不直接把廁格編號當作投入，因為「1、2、3、4、5」是空間索引，單靠索引大小不會構成可量度的邊際回報。最有理論基礎的對應是「邊際搜尋收益遞減」（diminishing marginal value of inspection）：已查看的廁格越多，再多查看一格帶來更好選項的期望改善可能越小。

因此，「邊際廁格遞減定律」可保留為具辨識度的研究名稱；形式上本文把它界定為三個可分開反駁的假說，而非已證實的自然定律。H1：首次選擇存在系統性位置偏好。H2：在明定分布與可回頭條件下，額外搜尋的期望收益遞減。H3：對他人偏好的推測可改變原有選擇排序，並可能出現自我否定的「冷門位置」優勢。

2　理論背景與相關實證文獻

2.1　中央偏好與「從相似選項中作選擇」

Christenfeld（1995）在六項研究中比較了相近選項的空間選擇；其中涉及一間具有四個廁格的公共男廁，以及貨架等其他位置選擇。其摘要所支持的是整體存在「偏好中間」的趨勢；該研究不能直接推出「五格配置中，4 號最低」。Bar-Hillel（2015）進一步提醒：位置效應往往因選擇的物理可及性、起點、顯著性與任務形式而不同，不能把中央偏好當作一條無條件適用的規律。

Shaw、Bergen、Brown 與 Gallagher（2000）在相似物件與座位選擇中發現中央優勢，並討論認知努力與注意力可能涉及的機制；Valenzuela 與 Raghubir（2009）發現消費者有時把中央位置視作「他人較喜歡的選項」，因而更常選中央；Atalay、Bodur 與 Rasolofoarison（2012）的眼動研究則提供了中央注意力與選擇關聯的證據。這些研究支持「位置可影響選擇」；但商品、座位與廁格的污損、私隱及排隊成本並不一致。

2.2　相反結果與邊界條件

在 Heston（2023）的一份未經同行評議之 SSRN 研究稿中，研究者記錄一處三格公共廁所的 37 次「至少一格有人使用」時刻，靠牆端格的佔用較高，中格較低。該設計的樣本少，屬特定時點的佔用截面，並非完整到訪選擇機率；但它至少說明不能預先認定所有廁所都呈中央佔用最高。不同設施、入口及相鄰人流皆可能造成結果差異。

2.3　社會預期、認知層級與有限理性

使用者可能會想：「大多數人會選中央，所以我選邊緣」；進一步又想：「別人也會想到邊緣，因此我改選 4 號」。這正接近博弈論中的認知層級（cognitive hierarchy）：個體以有限步數預測他人的推理，再作反應（Camerer et al., 2004）。但「思想愈深，必然會選 4 號」並非數學結論；在沒有左右非對稱的情況下，2 和 4 可能完全等價。Simon（1955）的有限理性觀點有助解釋為何多數人可能採用簡單捷徑、達到滿意門檻就停止搜尋。

另一方法學限制是：受試者事後說「我選中間因為覺得安全」，並不保證這就是作出選擇時的真實因果機制。Nisbett 與 Wilson（1977）曾論述對自身心理過程之口頭報告的侷限。故研究不應只靠問卷推斷心理原因，應同時記錄實際選擇，並透過隨機化操作識別機制。

2.4　麥穗故事與最優停止的學術脈絡

「蘇格拉底命弟子走過麥田、只選最大麥穗」常被作為人生選擇的寓言，但暫未能找到可核對的柏拉圖或色諾芬古典篇章支持該確切敘述；本文只把它視作現代流傳的寓言，不把它列為蘇格拉底的學術原著。較嚴謹的數學對應是秘書問題（secretary problem）或「最佳選擇問題」，由 Gilbert 與 Mosteller（1966）等發展，Ferguson（1989）整理其歷史與最佳停止策略。Weitzman（1979）則研究具有各自搜尋成本與未知回報的可回頭搜尋問題，較貼近可以查看多個廁格再比較的情境。

表 1　主要研究、可支持結論及其對本文的限制

3　整合行為模型：首選、檢查與最終使用

3.1　隨機效用與策略混合

令 x_i 為廁格 i 的屬性，包含與入口距離 d_i、實際污損 c_i、可見私隱 v_i、是否有人佔用 o_i，以及對被他人使用程度的主觀估計 b_i。個體 n 對廁格 i 的潛在效用可以寫為：

Uₙᵢ = β₀ + βᶜₙ cᵢ + βᵛₙ vᵢ − βᵈₙ dᵢ − βᵇₙ bᵢ − βᵒₙ oᵢ + εₙᵢ .

若 ε 服從適當的極值分布，可以得到 McFadden（1974）提出的條件羅吉特形式：Pₙ(i | A) = exp(Vₙᵢ)/Σⱼ∈A exp(Vₙⱼ)，其中 A 是當時可用的廁格集合，V 是不含誤差的系統性效用。實務上可以使用混合羅吉特或潛在類別模型，允許不同人的位置偏好和距離敏感度不一樣。

為讓直覺清晰且便於演算，以下另設行為類別 g ∈ {中央、兩端、隨機、近入口}；其人群比例為 w_g，且 Σ_g w_g = 1。若 qᵍᵢ 表示第 g 類人首次選擇第 i 格的機率，整體分布為：

P(i) = Σ_g w_g qᵍᵢ，i ∈ {1,2,3,4,5}。

其中「中央偏好」不代表所有此類人必定選第 3 格；機率分布包含偶然變動、實際環境與衡量誤差。若要把「深思熟慮後避開熱門格」獨立成新類別，也可以把 qᵍᵢ 改由對其他人的預期使用率計算。

3.2　二階信念、反身性與可識別條件

定義 bᵢ = Eₙ[P(其他人選 i)]。若使用者厭惡高使用率，可以令效用額外減去 γₙ bᵢ（γₙ > 0）。一階偏好可能集中於中間或兩端；二階推測促使部分人刻意避開熱門格；而當「避開第 3 格、改選第 4 格」成為流行建議，b₄ 便會上升，原有推測不再可靠。

若僅有「中央 vs 兩端 vs 隨機」且行為與入口方向在左右互換時不變，則 qᵍ₂ = qᵍ₄ 對每一類都成立，因此 P(2) = P(4)。這是一個可以直接反駁「4 號必然最冷門」的對稱性命題。唯有入口位置、牆面、燈光、標誌、排列方式、其他使用者或資訊提示打破對稱性，4 號才可能系統性地比 2 號少人選。

3.3　查看過程與最優停止

首次選擇未必就是最後選擇。使用者可以觀察格內潔淨度 s₁，決定「接受」或付出時間、步行和心理成本 c 再查看 s₂。令 M_k = max(X₁,…,X_k) 是已看過 k 個廁格中最高的可比較品質分數；若允許回頭而且可以使用任一已查看的空格，最終得到的最佳已知品質是 M_k。

在「各廁格品質 Xᵢ 獨立、同分布 Uniform(0,1)、觀察無誤、可以回頭」的特定條件下，有：

$$E\left[M_k\right]=\frac{k}{k+1},{\Delta }_k=E\left[M_k\right]-E\left[M_{k-1}\right]=\frac{1}{k\left(k+1\right)}$$

因此，第 1 至第 5 次查看帶來的無條件期望增益依次為 0.500、0.167、0.083、0.050、0.033；這構成一個嚴格的邊際搜尋收益遞減示例。然而，這個命題是「無條件平均增益」；若首格特別髒、其餘廁格品質具空間相關性，或人可見的品質訊號不同，個人在某一步的條件增益可以上升，不能當作對每一次真實搜尋路徑的保證。

圖 1　均勻品質、獨立且可回頭條件下，查看次數與期望最高品質及邊際收益。所有數值為解析公式，並非調查。

表 2　查看次數與理論期望收益（Uniform(0,1) 假設）

如每新增查看一格的效用成本固定為 c，則最簡化的事先規劃模型會比較 Δₖ 和 c；例如 c = 0.06 時，第 3 次查看的平均增益 0.083 高於成本，第 4 次的 0.050 低於成本。這只是成本預算示例，並不代表在個別觀察後的真正最優策略。具有條件資訊時，合理的動態規劃寫為：

Vₖ(m) = max {m, −c + E[Vₖ₊₁(max(m,Xₖ₊₁))]}；V₅(m) = m。

若不能回頭、查看使已看選項消失，問題就變成秘書問題的相關變體；若品質可直接量化、已看選項可再訪，則更接近 Weitzman（1979）一類有搜尋費用的選擇問題。研究必須事先說明是否可回頭、何時支付成本、已查看廁格是否會被別人佔用。

4　五格數值模型：第 4 格何時成為最冷門？

4.1　完全公開的示例參數

為演示而非聲稱已發現人口真實比例，設定四種行為類型的權重及各自的首選機率如下。各列機率加總為 100%，類別權重也加總為 100%。此組參數假定入口較接近 1 號，而且近入口型偏好 1、2 號。

表 3　四類人的權重與五格首次選擇條件機率（全部為模型假設）

將權重加總：P(1)=28.04%、P(2)=13.60%、P(3)=28.06%、P(4)=10.18%、P(5)=20.12%。故在這一特定設定下，排序是 3 ≈ 1 > 5 > 2 > 4，4 號確實最低。注意 1 和 3 的差距僅 0.02 個百分點，數字由人為選定參數決定，既不構成真實統計顯著性，也不能被解讀為全港或任何地區的實際機率。

圖 2　四類策略混合所生成的五格首選分布（人工示例）；第 4 格為最低但並非必然。

4.2　對稱性、入口方向與「沒有唯一冷門格」

同樣四種策略，若把「近入口型」的路徑偏好從左入口改成右入口，原本 2、4 的不對稱會隨之翻轉。若觀察樣本由等量左入口與右入口的鏡像設施組成，且其他條件相同，P(2) 與 P(4) 在平均後必然相等。在數學上，這比強調第 4 格特殊更重要：第 4 格的優勢取決於實際方向結構，而非數字「4」本身。

4.3　反身性臨界點：僅需約 3.31% 的轉向

考慮原本呈現上述 P(i) 分布的群體。若有額外比例 t 的人，不論原先的策略，統一直接選第 4 格；其餘 1−t 的群體仍按照原本機率選擇，新的分布為 Pₜ(4)=(1−t)P(4)+t，而 Pₜ(i)=(1−t)P(i)（i≠4）。令 Pₜ(4)=Pₜ(2)，可求得：

$$t^{*}=\frac{P\left(2\right)-P\left(4\right)}{1-P\left(4\right)+P\left(2\right)}\approx 0.0331\approx 3.31\%$$

亦即僅約 3.31% 的總到訪者遵從「直接選 4 號」建議，4 號與 2 號就會打成平手；超過此值，4 號不再是最低首選率。這不是實測門檻，而是本例參數下的精確代數推論。若資訊傳播改變了其他類別的策略、廁格被佔用，或人們重新調整清潔預期，臨界點也會變動。

圖 3　模型反身性示例：採納「第 4 格冷門」建議的比例增加，使第 4 格首選率超越第 2 格。

5　從「最少人使用」到「最乾淨」：必要的因果限制

首次選擇率、實際使用量、現場污損程度和傳染風險是四種不同變項。首選可能被佔用而轉往其他格；清潔工可能對熱門格增加清潔；使用者習慣、地板積水、通風、沖廁性能與清潔頻率亦可顯著改變潔淨度。故單憑選擇率無法證成「第 4 格最乾淨」。

作為清楚標示的機制模型，令 λᵢ = Λ·P_final(i) 為第 i 格單位時間的平均實際使用強度，aᵢ 表示自上次清潔後經過的時間，θᵢ 為每次使用造成品質損耗的有效參數。極簡模型可寫為 Sᵢ = exp(−θᵢ λᵢ aᵢ)，其中 Sᵢ 是某個單一「維持良好狀態」指標的模型值。只有在各格 θᵢ、aᵢ、外部污染、清潔處理與設備狀況相同，且使用量確實驅動該指標時，較低 λᵢ 才意味較高 Sᵢ。這不是細菌感染概率的臨床估算公式，也不該當作衛生安全建議。

更完整的因果結構為：位置 → 使用者首選 → 轉格及排隊 → 實際使用次數 → 污損；另一方面，既有污損 → 查看後轉格，而清潔排程 → 污損又影響後續使用選擇。若只抽樣最後的污損狀態，這個雙向回饋容易產生混淆。應聯合觀察每個時段的使用人次、清潔介入及獨立客觀品質評分。

6　生命選擇與秘書問題：相似之處及不能類比之處

標準秘書問題假設候選總數 n 已知、出現順序隨機、被拒者不能再選、每個候選者可以相對排序，且目標只在「找出全體唯一最佳」時得分。若 n 充分大，最優規則為「先放棄約 1/e ≈ 36.8% 的候選者作基準，然後選第一位超過既往所有人的候選者」，其成功機率亦趨近 36.8%（Ferguson, 1989）。這個法則是對觀察機會次數的比例，而不是直接對年齡給出的規則。

$$P\left(\text{選中最佳}|\text{略過}k\text{人}\right)=\frac{k}{n}\sum _{j=k+1}^n\frac{1}{j-1},k\ge 1$$

例如 n = 5 且上述假設完全成立時：略過第 1 位再選破紀錄者的成功機率約 41.67%；略過前 2 位則約 43.33%，是這個 n 的較佳門檻。這證明小樣本並不要求機械地把任何人生年齡乘 0.368。

圖 4　經典秘書問題的大樣本極限：起初只觀察的比例 x 與選中全局最佳的概率 −x·ln(x)。

若硬把「開始尋找伴侶年齡 18 歲、打算在 40 歲結束探索」定義為長度 22 年的均勻機會視窗，則 18 + 0.368×22 ≈ 26.1 歲只是機械換算出的「開始評估的時間界線」，既不是最可能遇到理想伴侶的年齡，也不是建議應在該歲數結婚。真實感情關係通常涉及雙方選擇、相處中的學習、復合可能、偏好變化、對方能否接受以及「足夠好」而非全局唯一最好等特徵；任意套用 37% 法則會誤導。

廁格與人生決策的共通數學骨架是「有限資訊—繼續搜尋要付出成本—必須在某時停止」；差異則在選項可否回頭、目標是否唯一最優、選擇能否修正和時間是否可預測。將這些條件列清楚，比宣稱某個年齡必然最有機率遇上最對的人更能保持學術嚴謹。

7　可實施的實證研究設計

7.1　研究問題、取樣與變項

建議以跨場域的分層現地研究驗證：在大學、商場、交通場站等多個具有五格排列的公共設施，擇取至少 10 個不同廁所，在不同星期及時段記錄合規的設施使用總量。理想上先試行 1 至 2 星期估計位置效應及場域內相關，再依主要比較的最小可偵測差異進行正式樣本數與檢定力規劃；例如目標 3,000 次合格「五格全空、入口方向確定」的獨立到訪事件可作初步規模想像，但不能視為已證成 80% 檢定力。

主要反應變項依次為「首選哪一格」（1 至 5）、「是否查看了第二格」、「總查看格數」、「最終使用哪一格」。解釋變項包括入口位置（左／右）、廁格是否靠牆、可見清潔度、其他格佔用、是否排隊、是否有明示的「大家常選哪格」資訊、清潔間隔與場域固定效應。記錄應僅採不可識別個人的門外觀察或合法門磁／佔用計數感測器，避免拍攝廁所內部與個人影像；有需要時經倫理委員會審批及取得適當告知或同意。

7.2　辨別真正機制的隨機化實驗

實驗 A（方向）：在鏡像配置或可行的模擬選擇介面中隨機呈現左入口／右入口，檢測 P(2)−P(4) 是否隨方向變號。實驗 B（信念）：隨機呈現「第 3 格熱門」「第 4 格較少人用」或中性文字，量度第 4 格選擇率是否上升。若在實際設施張貼提示，必須真實、不得誤導使用者，且不可干擾正常使用；較佳方式是先於受控線上行為實驗做信念操控。實驗 C（搜尋）：於不觸及私人衛生空間的模擬介面中，隨機設定查看成本與可否回頭，估計停止門檻。

為回答「哪類人佔多數」，可以於使用後自願作匿名簡短問卷，詢問當下認為最熱門／最冷門的廁格及自述理由；惟行為分類需要同時估計潛在類別模型，避免把口頭答案當作機制的直接證據。分析人群比例應報告抽樣區域、時段、設施特徵及模型不確定性。

7.3　預註冊假說與統計檢驗

表 4　可預註冊假說、檢驗及推翻準則

統計計畫宜使用多層多項式羅吉特模型，加入設施層級截距、固定的實驗處理、清潔批次及時段效果；以設施為群聚單位計算不確定性，並事先指定主要比較 P(4)−P(2)，避免試過所有廁格配對後只報顯著結果。若記錄 5×多場域的格數，也可以使用偏好位置與入口距離的交互項以檢驗對稱性。

8　討論、理論貢獻及限制

第一，這一構想最有趣之處不是「4 這個數字有神祕優勢」，而是位置直覺、對別人的預測與真實場景會互相影響。個人希望避開多數人，結果可能在所有人採取相似策略時創造新的熱門位置。與市場擁擠、熱門旅遊地、求職選擇、商品選擇等問題的類比，在形式上可用人口異質性、擁擠成本與預期分布表達。

第二，模型展示了兩種不同的遞減：額外查看的無條件品質改善可在明確條件下呈遞減；而「某個冷門位置的優勢隨著更多人知道而遞減」則是一種人口反應與資訊傳播效應。兩者不是同一條定律，若未區分會造成概念混淆。

第三，所有數值圖表均由公開假設計算，不是五格真實世界的頻率估計；本文也未以現地數據確認潔淨度與使用次數的因果連結。模型的類型比例、進入方向、可回頭性、污損過程、同伴與排隊情境仍需測量。未來若取得合規資料，可把本文從概念模型擴展為可檢驗、可重複的行為研究。

9　結論

「邊際廁格遞減定律」值得被發展為一個關於位置偏好、有限推理與序列搜尋的跨學科研究框架。以五格模型為例，在一組透明且非實測的示例權重下，第 4 格確實是最少人首次選擇的位置；但其特殊性高度依賴入口方向與策略分布，甚至只需約 3.31% 的額外人群轉向第 4 格，就會喪失相對第 2 格的冷門地位。最值得驗證的命題不是「永遠選 4 號」，而是「人們如何形成位置信念、何時繼續尋找，以及當人人想避開群眾時會出現怎樣的集體結果」。

參考文獻（APA 第 7 版；英文原題保留）

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